Mathe und %e

[Maxe]

Ich bin einfach nur zu doof:

Ich muß einen Betrag X (10.000€) auf 500 Personen aufteilen. Gleichverteilt würde jeder 100% erhhalten. Bekommen sie jedoch nicht:
die, die zur Gruppe A gehören erhalten 150%, Gruppe B 130%, C 120% und nur D bekommt jene 100%.

Wieviel bekommt jeder, auf den Cent genau, ohne daß sich X ändert? Fällt jemanden eine Formel ein?


update
Jetzt wo ich die Fragestellung aufgeschrieben habe, liegt die Antwort nahe:
Ich brauche doch nur jeweils die Wichtungen summieren (1,5 + 1,3 ...) und X durch die Summe dividieren und hätte 100%, oder?!

[BergH]

tach auch !

Niemand bekommt 100% jedenfalls nicht , wenn die 10.000 Euro 100% sind.
Ansonsten Wäre es noch wichtig, die Anzahl der jeweiligen Gruppe zu wissen.

[Maxe]

Ja, die Bezeichnung "100%" sind aus der Ausgabenbeschreibung und ich berechne es pro Person (nicht Gruppe), daher ist "die Anzahl der jeweiligen Gruppe" nicht wichtig.

Aber, es ist schon komisch: Da martere ich mir das Gehirn und einmal die Aufgabenstellung hingeschrieben, schon ist "alles" klar. Danke.

[trespuntos]

Also ich muss BergH zustimmen, würden alle gleichviel bekommen würde jeder 0,2% bekommen (20 €), bekommt einer 150% der 10.000 € wären das 15.000 €. Man kann das Ergebnis nicht bestimmen, wenn man nicht weißt wie genau die Leute auf die Gruppen verteilt sind. Es macht einen Unterschied ob 300 der 500 Leute den Spitzensatz bekommen oder nur 50.

[Maxe]

Sorry, falls ich mich unglücklich ausgedrückt habe. Reduziertes Beispiel:

X = 100,- €

Person A = 1,5 (= 150%)
Person B = 1,5 (= 150%)
Person C = 1,3 (= 130%)
Person D = 1,2 (= 120%)
Person E = 1,0 (= 100%)

Grundbetrag = 100,- € / 6,5 (Wichtung) = 15,38461538461538 €

Person A und B erhalten 1,5 * 15,38461538461538 = 23,08 €
Person C erhält 1,3 * 15,38461538461538 = 20,00 €
Person D erhält 1,2 * 15,38461538461538 = 18,46 €
Person E erhält 1,0 * 15,38461538461538 = 15,35 €

3 Cent verbleiben für die Bank

[trespuntos]

Nicht dass ich das jetzt so auf die Schnelle lösen könnte, aber deine Lösung geht (so in etwa) auf, wenn in allen 5 Gruppen je gleichviel Leute sind. Sobald sich da das Verhältnis ändert, ändert sich auch die Gesamtsumme z.B.:



Mit einem Excel-Sheet bestimmt gar nicht so schwer, aber nur mit einer Mathematischen Formel schaffen, dass wahrscheinlich nur Stephen Hawking oder Sheldon Cooper

[Maxe]

Die "Gruppe" bezieht sich nur auf die sog. Prozentzahl.

Da A ... E die konkreten Personen sind, ist das hier egal: Wenn sich die Anzahl der Personen mit "150%" ändert, ändert sich die Summe der Wertigkeiten und damit der Grundwert. Im Ergebnis treten nur Rundungsdifferenzen auf.

[trespuntos]

Du musst wissen ob das so für dich reicht oder nicht, aber es sind definitiv keine Rundungsdifferenzen, sondern ein Rechen/Logikfehler.

[Eckhaard]

Moin, sehe ich genau so. Außer im Bundeshaushalt funktioniert das nicht.

[prenz]

Ich verstehe das Problem irgendwie nicht so ganz - das ist doch eine popelige Gleichung, in der lediglich eine Unbekannte ist. Da stört es auch überhaupt nicht, wenn die Gruppen in der Personenstärke nicht gleich sind.

Um mal das ursprüngliche Beispiel aufzugrifen (in #5 ist die Aufgabenstellung geändert, da ist eine weitere Gruppe E hinzugekommen):

Wir tun auch mal wieder so, als seien alle Personengruppen gleich stark, also nA=125, nB=125, nC=125 und nD=125 (macht aber nichts, geht mit allen anderen Konstellationen auch). Zudem gibt's eine gemeinsame Bezugsbasis, die hier in "100%" ausgedrückt wurde und die ich im Gleichungssystem als "x" nehme, denn die wollen wir am Ende wissen. Diese kann man berechnen, und das sieht dann so aus:

nA*1,5*x+nB*1,3*x+nC*1,2*x+nD*x=10000

Soweit hoffentlich klar, und auch, warum das Verhältnis A/B/C/D - und sogar die Gesamtpersonenzahl - zur Lösung fortan keine Geige mehr spielt.

Nun eretzen wir die ganzen n...:
125*1,5*x+125*1,3*x+125*1,2*x+125*x=10000

Ausrechnen:
1875,x+162,5x+150x+125x=10000

Zusammenfassen:
625x=10000

Umstellen (auf jeder Seite durch 625 teilen):
x=10000/625

Kürzen:
x=16

Probe: x in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:
125*1,5*16+125*1,3*16+125*1,2*16+125*16=10000

3000 (für alle A zusammen) + 2600 (für alle B zusammen) + 2400 (für alle C zusammen) + 2000 (für alle D zusammen) = 10000 (wahr)

Jeder A enthält 1,5*x = 24 Euro, jeder B erhält 1,3*x=20,80 Euro, jeder C erhält 1,2*x=19,20 Euro, jeder D erhält x=16 Euro. Keine Rundungsreste (aber könnten sich bei anderen Verteilungen ergeben)

[trespuntos]

Und ich habe oben ein Beispiel genannt (Bild), dass Veränderungen der Gruppenstärke sehr wohl die Gesamtsumme verändern, wenn man diese nicht berücksichtigt. Kennst du die Gruppenstärke nicht, hast du zusätzliche Variablen.

[prenz]

Ich habe doch geschrieben, das sich Rundungsreste je nach Verteilung der Gruppentärke ergeben können - die liegen jedoch nicht in der grundsätzlichen Mathematik, sondern daran, das die kleinste Auszahlungseinheit in der Genauigkeit begrenzt ist. Im Zweifelsfall rundet man x auf der zweiten Stelle nach dem Komma ab und die Bank behält den Rest (wie bei Dir in Beispiel 1 zu sehen). Zudem mußt Du bei abweichender Gruppenstärke die Bezugsbasis neu berechnen und nicht bei 15,35 lassen (das ist ein Rechenwegsfehler auf Deiner Seite, der zu einem zu hohem Auszahlungsbetrag führt).

150*1,5x+75*1,5x+125*1,3x+100*1,2x+50x=10000
670x=10000
x=14,92 (abgerundet, bei voller Genauigkeit stimmt die Probe)

A/B=22,38, C=19,39 (abgerundet), D=17,90 (abgerundet), E=14,92
insgesamt werden 3357(A)+1678,50(B)+2423,75(C)+1790(D)+746(E) ausgezahlt, zusammen 9995,25 Euro.

Man könnte in der Auszahlung auch noch dichter an den Zielbetrag rankommen, aber das ist dann nicht mehr ganz so trivial (und würde dann auch die 150/130/120/100-Verteilung stören).

[Eckhaard]

@prenz: Du hast oben geschrieben die Gruppenstärke spielt keine Rolle und es handelt sich um eine Gleichung mit einer Unbekannten. Dem ist nicht so, da die Gruppenstärke eben Einfluss auf die Verteilung hat, so wie Du das in Deiner Formel auch richtig abgebildet hast. Also ist es eine Gleichung mit 5 Unbekannten, nämlich x und die Stärke der 4 Gruppen. Ok 4 Unbekannte, da nA+nB+nC+nD=500. Ohne Kenntniss der Gruppenstärken kein x. Das will Trespuntos sagen.

EDIT: Die Exceldatei zeigt das auch.

[prenz]

Soweit erst mal korrekt, aber im Moment der praktischen Applikation - also wenn der Kuchen aufgeteilt wird - ist die Gruppenstärke doch bekannt und ich kann die jeweiligen Personenzahlen direkt in die Gleichung einsetzen. Danach ist nur noch eine Unbekannte da. Sicher, in der Praxis spielt die Gruppenstärke eine Rolle, insofern der erreichte Auszahlungsbetrag davon abhängt, jedoch nicht für den grundsätzlichen Algorithmus - und das habe ich oben an zwei unterschiedlichen Beispielen aufgezeigt.

[trespuntos]

Eckhard hat meine Gedanken gut wiedergegeben. Am Handy oder im Kopf kann ich es nicht prüfen, funktioniert deine Formel denn wenn du die korrekte Personenanzahl einträgst? Ich habe ja auch geschrieben, das ich es Mathematisch nicht lösen kann, mir ging es nur darum, dass es mehrere Variablen gibt und nicht nur eine.

Wenn deine Gleichung funktioniert, Hut ab, wieder was dazugelernt.

[Eckhaard]

Sie funktioniert natürlich, man muß halt die Personenzahl eintragen.